EAER - Structures Aérospatiales

Poutres à Parois Minces : Flexion, Cisaillement, Torsion & Idéalisation Structurelle

Contexte du Cours EAER

Objectifs d'apprentissage

  • Analyser les contraintes dans les poutres à parois minces
  • Comprendre les phénomènes de flexion, cisaillement et torsion
  • Appliquer l'idéalisation structurelle aux structures aérospatiales
  • Calculer les déformations et contraintes

Applications en Aérospatiale

Fuselages d'avions - Structures cylindriques à parois minces
Lanceurs spatiaux - Réservoirs et structures de support
Ailes d'avions - Longerons et nervures

Pourquoi les poutres à parois minces ?

En aérospatiale, l'optimisation du rapport résistance/poids est cruciale. Les poutres à parois minces permettent de : minimiser la masse tout en maintenant une rigidité structurelle suffisante pour résister aux charges de vol.

Flexion des Poutres à Parois Minces

Théorie Fondamentale

Hypothèses de base

  • Sections planes restent planes (Bernoulli)
  • Matériau élastique linéaire
  • Petites déformations
  • Épaisseur constante localement

Distribution des contraintes normales

σ = (My × z)/Iy + (Mz × y)/Iz

Où : My, Mz = moments fléchissants, Iy, Iz = moments d'inertie

Sections non-symétriques

Pour les sections sans axe de symétrie, il faut considérer le produit d'inertie Iyz et utiliser les axes principaux d'inertie.

Distribution des Contraintes

Contrainte maximale : σmax = M×c/I
Axe neutre : σ = 0

Exemple : Longeron d'aile

Données

  • Moment M = 50 kN·m
  • Hauteur h = 200 mm
  • Épaisseur t = 2 mm

Calcul

  • I = t×h³/12
  • c = h/2
  • σmax = M×c/I

Résultat

σmax = 187.5 MPa

Flexion Avancée - Sections Non Symétriques

Problématique du Couplage

Sections sans axe de symétrie

Lorsqu'une section n'a pas d'axe de symétrie, il y a couplage entre flexion et torsion. Le produit d'inertie Ixy ≠ 0 complique l'analyse.

Axes principaux d'inertie

tan(2α) = -2Ixy/(Ix - Iy)

α = angle de rotation vers les axes principaux

Moments d'inertie principaux

I1,2 = (Ix + Iy)/2 ± √[(Ix - Iy)²/4 + Ixy²]

Évolution des Moments d'Inertie

Formule générale

σ = [Mx(Iyy - Ixyz) + My(Ixz - Ixyy)] / (IxIy - Ixy²)

Méthode de résolution

  1. Calculer Ix, Iy, Ixy
  2. Déterminer les axes principaux (angle α)
  3. Transformer les moments Mx, My dans les axes principaux
  4. Appliquer σ = M₁y₁/I₁ + M₂y₂/I₂
  5. Retransformer si nécessaire

Astuce pratique

Dans les axes principaux, Ixy = 0, ce qui simplifie considérablement les calculs. C'est pourquoi on préfère toujours travailler dans ces axes.

Centre de Cisaillement - Sections Ouvertes

Définition

Point par lequel doit passer la résultante des efforts tranchants pour éviter la torsion de la section.

ysc = -Ixy/Ix × ez

Calcul pratique

Pour une section ouverte, le centre de cisaillement se calcule par intégration du flux le long de la ligne moyenne.

∫ q × r ds = 0

Cisaillement dans les Poutres à Parois Minces

Flux de Cisaillement

Formule fondamentale

q = (V × Q)/(I × t)

q = flux de cisaillement, V = effort tranchant, Q = moment statique, I = moment d'inertie

Centre de cisaillement

Point d'application de l'effort tranchant qui ne provoque pas de torsion. Crucial pour les sections ouvertes à parois minces.

Attention : Voilement

Les parois minces peuvent flamber sous cisaillement. Vérifier : τ < τcritique

Distribution du Flux

Section fermée

q = constante

Section ouverte

q = variable

Torsion des Poutres à Parois Minces

Torsion de Saint-Venant

Sections fermées

τ = T/(2×A×t)

A = aire enfermée par la ligne moyenne

Sections ouvertes

τ = T×t/(J)

J = constante de torsion

Angle de torsion unitaire

θ' = T/(G×J)

G = module de cisaillement, θ' = rotation par unité de longueur

Comparaison des Sections

Sections fermées

  • Rigidité en torsion élevée
  • Contraintes uniformes dans l'épaisseur
  • Utilisées pour les fuselages

Sections ouvertes

  • Rigidité en torsion faible
  • Concentrations de contraintes
  • Nécessitent des renforts

Conseil pratique

Pour améliorer la rigidité en torsion d'une section ouverte, ajoutez des diaphragmes ou fermez partiellement la section.

Sections Ouvertes/Fermées Combinées

Principe de Superposition

Décomposition en cellules

Une section complexe se décompose en cellules fermées + branches ouvertes. Chaque composant suit ses propres lois de comportement.

Torsion d'une section mixte

Cellules fermées :
θ'f = Tf/(GJf)
Branches ouvertes :
θ'o = To/(GJo)
Condition de compatibilité :
θ'f = θ'o

Répartition des Couples

Méthode de calcul

  1. Calculer Jf et Jo séparément
  2. Appliquer T = Tf + To
  3. Utiliser θ'f = θ'o
  4. Résoudre le système pour Tf et To

Formules de répartition

Tf = T × Jf/(Jf + Jo)
To = T × Jo/(Jf + Jo)
Point critique

Les contraintes maximales se trouvent généralement aux jonctions entre parties ouvertes et fermées.

Exemple : Caisson d'aile avec raidisseurs

Configuration

  • • Caisson fermé (longerons + revêtement)
  • • Raidisseurs ouverts (profils en L)
  • • Couple total T = 10 kN·m

Données

  • Jcaisson = 2×10⁶ mm⁴
  • Jraidisseurs = 0.5×10⁶ mm⁴
  • G = 27 GPa

Résultats

  • Tcaisson = 8 kN·m (80%)
  • Traidisseurs = 2 kN·m (20%)
  • θ' = 1.48×10⁻⁶ rad/mm

Méthode des Forces de Cisaillement

Étapes de calcul

  1. Isoler chaque cellule fermée
  2. Calculer les flux q₀ (sans couplage)
  3. Imposer la compatibilité des déformations
  4. Résoudre le système linéaire
  5. Superposer les flux finaux

Équations de compatibilité

∮ (q/Gt) ds = 0

Pour chaque cellule fermée, l'intégrale du flux divisé par l'épaisseur doit être nulle.

Idéalisation Structurelle

Principe de l'Idéalisation

L'idéalisation consiste à simplifier une structure complexe en éléments plus simples (poutres, barres, panneaux) tout en conservant le comportement mécanique essentiel.

Étapes de l'idéalisation

  1. Identifier les éléments porteurs principaux
  2. Concentrer la matière aux lignes moyennes
  3. Définir les liaisons entre éléments
  4. Vérifier la cohérence des rigidités

Conservation des propriétés

Aire de section : Aréelle = Aidéalisée
Centre de gravité : CGréel = CGidéalisé
Moment d'inertie : Iréel = Iidéalisé

Applications Pratiques

Aile d'avion

Longeron → poutre, Nervures → diaphragmes, Revêtement → panneaux travaillants

Fuselage

Cadres → anneaux rigides, Lisses → poutres longitudinales, Revêtement → membrane de cisaillement

Structure treillis

Tubes → barres articulées, Nœuds → liaisons rotules, Panneaux → membranes

Validation

Comparer les résultats de l'analyse idéalisée avec des tests ou des calculs éléments finis pour valider l'approximation.

Méthodes d'Évaluation EAER

Démarche Type d'Exercice

Analyse systématique

  1. Identifier le type de section (ouverte/fermée/mixte)
  2. Déterminer les axes principaux si nécessaire
  3. Calculer les propriétés géométriques (Ix, Iy, Ixy)
  4. Appliquer les formules appropriées
  5. Vérifier la cohérence des résultats

Points de vigilance

Conventions de signes

Toujours vérifier les conventions (axes x,y centrés, sens des moments)

Unités cohérentes

SI : forces [N], longueurs [m], contraintes [Pa]

Cas limites

Vérifier le comportement pour les sections symétriques

Formulaire Évaluation

Flexion biaxiale générale

σ = [Mx(Iyy - Ixyz) + My(Ixz - Ixyy)] / D

avec D = IxIy - Ixy²

Axes principaux d'inertie

tan(2α) = -2Ixy/(Ix - Iy)

Centre de cisaillement

ex = -∫(qy/Vy) × z ds / Ix

Sections mixtes (torsion)

Jtotal = Jfermée + Jouverte

Exercices Types d'Évaluation

Section en L

Objectifs :

  • Calculer Ix, Iy, Ixy
  • Trouver les axes principaux
  • Contraintes sous flexion biaxiale
  • Localiser le centre de cisaillement

Temps indicatif : 25-30 min

Caisson + Raidisseurs

Objectifs :

  • Décomposer en cellules
  • Calculer Jfermé et Jouvert
  • Répartir le couple de torsion
  • Contraintes maximales

Temps indicatif : 35-40 min

Analyse Complète

Objectifs :

  • Flexion + cisaillement + torsion
  • Section complexe non symétrique
  • Contraintes équivalentes
  • Critères de dimensionnement

Temps indicatif : 45-50 min

Conseils Méthodologiques

Pendant l'épreuve

  • • Lire attentivement l'énoncé (schémas, conventions)
  • • Tracer les axes de référence sur les figures
  • • Vérifier les unités à chaque calcul intermédiaire
  • • Utiliser la symétrie quand elle existe
  • • Présenter clairement les étapes de calcul

Vérifications rapides

  • • Section symétrique ⟹ Ixy = 0
  • • Section fermée ⟹ J >> section ouverte
  • • Centre de cisaillement ≠ centre de gravité (sauf symétrie)
  • • Contraintes proportionnelles à la distance
  • • Ordres de grandeur cohérents

Récapitulatif des Formules Essentielles

Flexion

Contrainte normale : σ = M×y/I
Flexion biaxiale : σ = Myz/Iy + Mzy/Iz
Déflexion : d²y/dx² = M/(EI)

Cisaillement

Flux de cisaillement : q = VQ/(It)
Contrainte de cisaillement : τ = q/t
Moment statique : Q = ∫A y dA

Torsion

Section fermée : τ = T/(2At)
Section ouverte : τ = Tt/J
Angle de torsion : θ' = T/(GJ)

Flexion Avancée

Flexion biaxiale générale : σ = [Mx(Iyy-Ixyz)+My(Ixz-Ixyy)]/D
Discriminant : D = IxIy - Ixy²
Axes principaux : tan(2α) = -2Ixy/(Ix-Iy)
Moments principaux : I1,2 = (Ix+Iy)/2 ± √[(Ix-Iy)²/4+Ixy²]

Sections Mixtes

Rigidité équivalente : Jeq = Jfermée + Jouverte
Répartition fermée : Tf = T × Jf/(Jf+Jo)
Répartition ouverte : To = T × Jo/(Jf+Jo)
Compatibilité : θ'f = θ'o

Propriétés Géométriques

Centre de gravité : yc = ΣAy/ΣA
Moment d'inertie : I = ∫A y² dA
Théorème de Steiner : I = Ic + Ad²
Produit d'inertie : Ixy = ∫A xy dA
Centre cisaillement x : ex = -Ixy/Ix × zsc
Centre cisaillement y : ey = Ixy/Iy × ysc

Variables et Unités (SI)

Contraintes & Forces

  • σ : contrainte normale [Pa]
  • τ : contrainte de cisaillement [Pa]
  • M : moment fléchissant [N·m]
  • V : effort tranchant [N]
  • T : moment de torsion [N·m]

Géométrie

  • A : aire de section [m²]
  • I : moment d'inertie [m⁴]
  • J : constante de torsion [m⁴]
  • Q : moment statique [m³]
  • t : épaisseur [m]

Matériau

  • E : module d'Young [Pa]
  • G : module de cisaillement [Pa]
  • ν : coefficient de Poisson [-]
  • ρ : masse volumique [kg/m³]